Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）圆的方程化为标准方程，利用半径大于0，可得m的取值范围；
（2）直线方程与圆方程联立，利用韦达定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值；
（3）写出以MN为直径的圆的方程，代入条件可得结论．

解答：解：（1）（x-1）²+（y-2）²=5-m，∴方程表示圆时，m＜5；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁=4-2y₁，x₂=4-2y₂，得x₁x₂=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂，
∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y=0，∴16-8（y₁+y₂）+5y₁y₂=0①，
由

x=4-2y x2+y2-2x-4y+m=0

，得5y²-16y+m+8=0，
∴y1+y2=

16

5

，y1y2=

8+m

5

．
代入①得m=

8

5

．
（3）以MN为直径的圆的方程为（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
即x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0，
∴所求圆的方程为x2+y2-

8

5

x-

16

5

y=0．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．