Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

4

，a2=

3

4

，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），数列{b_n}满足：b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅲ）若当且仅当n=4时，S_n取得最小值，求b₁的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁．所以数列{a_n}为等差数列．
（Ⅱ）由{a_n}为等差数列，公差d=a2-a1=

1

2

，知an=a1+(n-1)×

1

2

=

1

2

n-

1

4

．由3b_n-b_n-1=n（n≥2）．知bn=

1

3

bn-1+

1

3

n(n≥2)，由此能够证明数列{b_n-a_n}是等比数列．
（Ⅲ）由b_n-a_n=（b₁-a₁）（

1

3

）^n-1，知b_n=

2n-1

4

 +(b1-

1

4

)•(

1

3

)n-1，由b₁＜0，可知数列{b_n}为递增数列．由当且仅当n=4时，S_n取得最小值可得S₃＞S₄，S₄＜S₅ ，所以b₄＜0，b₅＞0．由此能求出b₁的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2），
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁．
∴数列{a_n}为等差数列．
（Ⅱ）证明：∵{a_n}为等差数列，
∴公差d=a2-a1=

1

2

，
∴an=a1+(n-1)×

1

2

=

1

2

n-

1

4

．
∵3b_n-b_n-1=n（n≥2）．
∴bn=

1

3

bn-1+

1

3

n(n≥2)，
∴

bn-an= 1 3 bn-1+ 1 3 n- 1 2 n+ 1 4 = 1 3 bn-1- 1 6 n+ 1 4 = 1 3 (bn-1- 1 2 n+ 3 4 )= 1 3 [bn-1- 1 2 (n-1)+ 1 4 = 1 3 (bn-1-an-1)]

又b₁-a₁≠0，
∴对n∈N*，bn-an≠0，得

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

(n≥2)．
数列{b_n-a_n}是公比为

1

3

的等比数列．
（Ⅲ）由（II）得b_n-a_n=（b₁-a₁）（

1

3

）^n-1，
∴b_n=

2n-1

4

 +(b1-

1

4

)•(

1

3

)n-1，
∵b₁＜0，可知数列{b_n}为递增数列…10分
由当且仅当n=4时，S_n取得最小值可得S₃＞S₄，S₄＜S₅ ，
∴b₄＜0，b₅＞0，
又当b₄＜0，b₅＞0时，
∵数列{b_n}为递增数列，
∴S_n取得最小值时，n=4，
即当且仅当n=4时，S_n取得最小值的充要条件是b₄＜0，b₅＞0…12分
由b₄＜0得，

7

4

+(b1-

1

4

)•（

1

3

）³＜0，解得b₁＜-47，
由b₅＞0得，

9

4

+(b1-

1

4

)•（

1

3

）⁴＞0，解得b₁＞-182，
∴b₁的取值范围为（-182，-47）．…14分

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．