Question

(本题满分12分，第Ⅰ小题4分，第Ⅱ小题5分，第Ⅲ小题3分)

如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.

（Ⅰ）求证：平面⊥平面;

（Ⅱ）求二面角的大小;

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

Answer 1

(Ⅰ)略 (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

解法一：

（Ⅰ）∵

∴，又∵∴…（4分）

（Ⅱ）取的中点，则，连结，

∵，∴，从而

作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，

从而为二面角的平面角

直线与直线所成的角为    ∴

在中，由余弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小为…（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形

∴……（12分）

解法二：（Ⅰ）同解法一…（4分）

（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，

则

由直线与直线所成的解为，得

，即，解得

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得

平面的法向量取为，设与所成的角为，则

显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角大小为

（Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离

∵，∴…（12分）