Question

已知函数f（x）=．
（1）当a=-时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=．
当a=-时，f（x）=-
∴==
令f′（x）=0可得x₁=2，x₂=-2
当x∈[1，2]，f′（x）＞0，当x∈[2，e]时，f′（x）＜0
∴函数在区间[1，e]上，有x₁=2时，，f（x）_min=min{f（1），f（e）}
而f（1）=-
∴f（x）_min=-
（2）∵
∴
①当a≥0时，由f′（x）＞0可得，x＞0，由f′（x）＜0可得x＜0
又x＞0
∴f（x）在（0，+∞）单调递增
②当a＜0时，=
由f′（x）＞0可得，
由f′（x）＜0可得，，又x＞0
∴f（x）的单调递增区间（0，），减区间（）
分析：（1）由f（x）=-，对函数求导可得=，从而可求函数在区间[1，e]上单调性进而可求函数的最大值域最小值
（2）对函数求导，
①当a≥0时，分别由f′（x）＞0，f′（x）＜0可求函数的单调区间
②当a＜0时，由f′（x）＞0，f′（x）＜0可求函数单调区间
点评：本题主要考查了函数的导数 求解函数的极值及函数的最值，利用导数判断函数的单调区间，解题中要注意分类讨论思想的应用．