Question

【题目】设函数，其中．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）当时，求函数的极值点

（Ⅲ）证明：对任意的正整数，不等式都成立．

Answer 1

【答案】（1）在定义域上单调递增；

（II）时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；

时，函数在上无极值点。

（III）证明见详解.

【解析】

试题（1）根据导数研究函数单调性，先明确定义域（-1，+∞），再求导函数，确定导函数在定义域上符号变化情况，从而可得函数单调性（2）当时，由导函数=0解得两个不同解，下面根据两个根与-1的大小关系进行讨论：①当b＜0时，只有大根在定义域内，从而有唯一的极小值点；②当时，两根都在定义域内，因此列表分析可得有一个极大值点和一个极小值点（3）利用函数证明不等式，关键在于构造对应函数：，再利用导数研究单调性，从而给予证明．

试题解析：（1）当，

所以函数定义域（-1，+∞）上单调递增

（2） 当时，令=0解得两个不同解

①当b＜0时，

此时在（-1，x2）减，在（x2，+∞）增，∴上有唯一的极小值点

②当时， 在都大于0，在上小于0，

此时有一个极大值点和一个极小值点综上可知，

时，有一个极大值点和一个极小值点

（2）b＜0，时，在（-1，+∞）上有唯一的极小值点

（3）当b=-1时，

令上恒正

∴在上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有

即当x∈（0，+∞）时，有，

对任意正整数n，取