Question

如图，四棱锥S-ABCD底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点，且SE=2EC，SA=6，AB=2．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积V．

Answer 1

分析：（1）由线面垂直的性质，结合SA⊥底面ABCD可得SA⊥BD，再由AC⊥BD结合线面垂直的判定定理得到BD⊥平面SAC，最后由面面垂直的判定定理得到平面EBD⊥平面SAC
（2）由线面垂直的判定定理，结合SA⊥底面ABCD，可得平面SAC⊥底面ABCD，过点E作EF⊥AC于F，则EF⊥底面ABCD，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：证明：（1）∵SA⊥底面ABCD
∴SA⊥BD
又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD
又∵SA∩AC=A，SA，AC?平面SAC
∴BD⊥平面SAC，
∵BD?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC…（6分）
解：（2）∵SA⊥底面ABCD，
∴平面SAC⊥底面ABCD，过点E作EF⊥AC于F，则EF⊥底面ABCD，
∴EF∥SA，
∵SE=2EC，SA=6，
∴EF=2，
∴V=

1

3

S△BCD•EF=

4

3

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积公式，熟练掌握空间线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化是解答的关键．