Question

如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论；
（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平面角的定义可知∠AFG是二面角A-DE-C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A-DE-C的大小．

解答：解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，
由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．
作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，
DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SD．
SB=

SD2+DB2

=

6

，
DE=

SD?DB

SB

=

2

3

EB=

DB2-DE2

=

6

3

，SE=SB-EB=

2 6

3

所以SE=2EB
（Ⅱ）由SA=

SD2+AD2

=

5

，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
AE=

( 1 3 SA)2+( 2 3 AB)2

=1，又AD=1．
故△ADE为等腰三角形．
取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF=

AD2-DF2

=

6

3

．
连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A-DE-C的平面角．
连接AG，AG=

2

，FG=

DG2-DF2

=

6

3

，
cos∠AFG=

AF2+FG2-AG2

2?AF?FG

=-

1

2

，
所以，二面角A-DE-C的大小为120°．

点评：本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．