Question

已知对任意x∈R，acosx+bcos2x+1≥0，恒成立（其中b＞0），求a+b的最大值．

Answer 1

分析：变形得：acosx+bcos2x+1=2bcos²x+acosx+1-b，令cosx=t，t∈[-1，1]，则当f（t）=2bt²+at+1-b≥0时，t∈[-1，1]恒成立，分b＞1，0＜b≤1两种情况讨论：b＞1时易判断不成立；0＜b≤1时可得f（1）≥0，f（-1）≥0，由此可得|a|≤b+1（*），再按照（i）对称轴t=-

a

4b

∉[-1，1]时，（ii）当对称轴t=-

a

4b

∈[-1，1]两种情况讨论，（i）种情况可分别推得a，b的范围，从而可求得结果；（ii）种情况，由|

a

4b

|≤1，△≤0及（*）式可得a²≤8b-8b²成立，故问题转化为a²≤8b-8b²成立的条件下，求a+b的最大值，把条件配方得：

a2

2

+4(b-

1

2

)2≤1，然后利用三角换元可得答案．

解答：解：由题意知：acosx+bcos2x+1
=acosx+b（2cos²x-1）+1
=2bcos²x+acosx+1-b，
令cosx=t，t∈[-1，1]，则当f（t）=2bt²+at+1-b≥0时，t∈[-1，1]恒成立，
①当b＞1时，f（0）=1-b＜0，不满足f（t）=2bt²+at+1-b≥0，t∈[-1，1]恒成立；
②当0＜b≤1时，则必有

f(1)=a+b+1≥0 f(-1)=b-a+1≥0

⇒

a≥-(b+1) a≤b+1

⇒|a|≤b+1（*），
（i）当对称轴t=-

a

4b

∉[-1，1]时，即|

a

4b

|≥1，也即|a|≥4b时，有4b≤|a|≤b+1，
则b≤

1

3

，则|a|≤b+1≤

4

3

，则a+b≤

5

3

，
当a=

4

3

，b=

1

3

时，(a+b)max=

5

3

；
（ii）当对称轴t=-

a

4b

∈[-1，1]时，即|

a

4b

|≤1，也即|a|≤4b时，
则必有△=a²-8b（1-b）≤0，即a²≤8b（1-b）=8b-8b²，
又由（*）知a²≤（b+1）²，
则由于（b+1）²-（8b-8b²）=9b²-6b+1=（3b-1）²≥0，
故只需a²≤8b-8b²成立即可，问题转化为a²≤8b-8b²成立的条件下，求a+b的最大值，
把条件配方得：

a2

2

+4(b-

1

2

)2≤1，
令

a= 2 rcosθ b= 1+rsinθ 2

，（0≤r≤1），
∴a+b=

2

rcosθ+

rsinθ

2

+

1

2

=

3

2

rsin(θ+φ)+

1

2

≤

3r

2

+

1

2

≤2，
∴（a+b）_max=2．
综上可知（a+b）_max=2．

点评：本题考查两角和与差的三角函数、正弦函数的值域、函数在闭区间上的最值及恒成立问题，考查分类讨论思想，考查三角换元法求函数的最值，综合性强，能力要求高．