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    （12分）已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且当时，.

    （1）求证：为奇函数；   （2）求证:是上的减函数；

     

    【答案】

    （1）证明函数的 奇偶性，第一看定义域，第二看解析式，如果两点都满足了，则可以说明结论。

    （2）而对于函数单调性的证明主要是结合定义法，作差 ，变形定号，下结论，得到结果，注意最后要化到最简。

    【解析】

    试题分析：(1)证明：的定义域为,令,则， 令,则，即.

    ，故为奇函数.       6分

    （2）证明：任取且,

    则 

    又，，，

    即.

    故是上的减函数.      12分

    考点：函数的奇偶性和单调性

    点评：解决该试题的关键是对于函数奇偶性和单调性的运用，属于基础题，利用定义法来证明是常用的方法之一。

     

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数的定义域为（0，+∞），且单调递增，满足f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y）．
    （Ⅰ）证明：f（1）=0；
    （Ⅱ）若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x＞0时，f（x）＞0．
    （I）试判断并证明f（x）的奇偶性；
    （II）试判断并证明f（x）的单调性；
    （III）若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0对所有的θ∈[0，
    π2
    ]    均成立，求实数m 的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年浙江省杭州市七校高三上学期期中联考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数的定义域为，

    （1）求；

    （2）若，且是的真子集，求实数的取值范围.

     

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    科目：高中数学 来源：2014届辽宁朝阳高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版） 题型：选择题

    已知函数的定义域为,部分对应值如下表。的导函数的图像如图所示。

    0

    下列关于函数的命题：

    ①函数在上是减函数；②如果当时，最大值是，那么的最大值为；③函数有个零点，则；④已知是的一个单调递减区间，则的最大值为。

    其中真命题的个数是（           ）

    A、4个    B、3个  C、2个  D、1个

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年海南省海口市高三高考调研考试理科数学 题型：选择题

    已知函数的定义域为，且，为的导函数，函数的图象如图所示.若正数,满足,则的取值范围是

        A．    B．  C．    D．

     

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