Question

20．如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC，O为AB的中点，OF⊥EC．
（Ⅰ）求证：OE⊥FC；
（Ⅱ）若AC=$\sqrt{3}$．AB=2时，求三棱锥O-CEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而OC⊥平面ABEF，进而OF⊥OE，由此能证明OE⊥FC；
（Ⅱ）直接利用三棱锥的体积公式可得结论．

解答 （Ⅰ）证明：连结OC，∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABC，
故OC⊥平面ABEF，
∴OC⊥OF，又OF⊥EC，
∴OF⊥平面OEC，∴OF⊥OE，
又OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知OE=OF=$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥O-CEF的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．