Question

15．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1相切，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出圆的圆心与半径，双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1相切，列出方程求解即可．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线bx+ay=0，圆（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1的圆心（-1，$\sqrt{3}$）在的二象限，因为双曲线的渐近线与圆相切，
可得：$\frac{|-b+\sqrt{3}a|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}=1$，
可得a=$\sqrt{3}b$，即a²=3b²=3c²-3a²
可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，圆锥曲线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．