Question

4．设F₁，F₂为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$的两个焦点，已知点P在此双曲线上，且$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{3}$．若此双曲线的离心率等于$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，则点P到y轴的距离等于2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的方程，利用余弦定理、等面积求出P的纵坐标，代入双曲线方程，可得点P到y轴的距离．

解答 解：∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$的离心率等于$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}+2}{{a}^{2}}=\frac{3}{2}$，∴a=2，c=$\sqrt{6}$．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则由余弦定理可得24=m²+n²-mn，∴24=（m-n）²+mn，
∴mn=16．
设P的纵坐标为y，则由等面积可得$\frac{1}{2}×16×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}|y|$，
∴|y|=2$\sqrt{2}$，
代入双曲线方程，可得|x|=2$\sqrt{5}$，
故答案为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查余弦定理、等面积的运用，属于中档题．