【题目】已知椭圆的一个焦点为
,离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若动点为椭圆
外一点,且点
到椭圆
的两条切线相互垂直,求点
的轨迹方程.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)利用题中条件求出的值,然后根据离心率求出
的值,最后根据
、
、
三者的关系求出
的值,从而确定椭圆
的标准方程;(2)分两种情况进行计算:第一种是在从点
所引的两条切线的斜率都存在的前提下,设两条切线的斜率分别为
、
,并由两条切线的垂直关系得到
,并设从点
所引的直线方程为
,将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于
的一元二次方程,利用
得到有关
的一元二次方程,最后利用
以及韦达定理得到点
的轨迹方程;第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点
的坐标,并验证点
是否在第一种情况下所得到的轨迹上,从而得到点
的轨迹方程.
(1)由题意知,且有
,即
,解得
,
因此椭圆的标准方程为
;
(2)①设从点所引的直线的方程为
,即
,
当从点所引的椭圆
的两条切线的斜率都存在时,分别设为
、
,则
,
将直线的方程代入椭圆
的方程并化简得
,
,
化简得,即
,
则、
是关于
的一元二次方程
的两根,则
,
化简得;
②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直,则
的坐标为
,此时点
也在圆
上.
综上所述,点的轨迹方程为
.
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【题目】设a∈R,函数f(x)=x|x﹣a|+2x.
(1)若a=2,求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值;
(2)若a>2,写出函数f(x)的单调区间(不必证明);
(3)若存在a∈[﹣2,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数解,求实数t的取值范围.
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【题目】(本小题满分12分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为
,当年产量不足80千件时,
(万元).当年产量不小于80千件时,
(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(Ⅰ)写出年利润
(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式;
(Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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【题目】函数 是偶函数,求解下列问题.
(1)求θ;
(2)将函数y=f(x)的图象先纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍,再向左平移
个单位,然后向上平移1个单位得到y=g(x)的图象,若关于x的方程
在
有且只有两个不同的根,求m的范围.
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【题目】已知向量 =(a,cos2x),
=(1+sin2x ,
),x∈R,记f(x)=
.若y=f(x)的图象经过点(
,2 ).
(1)求实数a的值;
(2)设x∈[﹣ ,
],求f(x)的最大值和最小值;
(3)将y=f(x)的图象向右平移 ,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到y=g(x)的图象,求y=g(x)的单调递减区间.
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【题目】为了调查观众对某电视剧的喜爱程度,某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查,得分结果如图所示:
(1)计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数;
(2)若从乙地被抽取的8名观众中邀请2人参加调研,求参加调研的观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上(含90分)的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.
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【题目】下列说法中,正确的有 . (写出所有正确说法的序号) ①已知关于x的不等式mx2+mx+2>0的角集为R,则实数m的取值范围是0<m<4.
②已知等比数列{an}的前n项和为Sn , 则Sn、S2n﹣Sn、S3n﹣S2n也构成等比数列.
③已知函数 (其中a>0且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程
恰有两个不相等的实数解,则
.
④已知a>0,b>﹣1,且a+b=1,则 +
的最小值为
.
⑤在平面直角坐标系中,O为坐标原点,| |=|
|=|
|=1,
+
+
=
,A(1,1),则
的取值范围是
.
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【题目】已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是( )
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线C2
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