Question

已知函数f（x）=2cosωxsin（ωx+

π

6

）+cos⁴ωx-sin⁴ωx（ω＞0）的两条相邻对称轴之间的距离等于

π

2

，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且锐角B满足f（B）=

1

2

，b=

7

，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式及平方差公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将cosB，b，a+c的值代入求出ac的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cosωx（sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

）+（cos²ωx-sin²ωx）（cos²ωx+sin²ωx）
=

3

cosωxsinωx+cos²ωx+cos2ωx
=

3

2

sin2ωx+cos²ωx+cos2ωx
=

3

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx+

1

2

=

3

sin（2ωx+

π

3

）+

1

2

，
∵T=π，∴ω=1，
则f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）+

1

2

；
（Ⅱ）∵B为三角形锐角，
∴B=60°，
在△ABC中，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
将b=

7

，a+c=4代入得：ac=3，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

2

sin60°=

3 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．