Question

盒子中装着标有数字1、2、3、4、5、6的小球各2个，从盒子中任取3个小球，按3个小球上最大数字的5倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布列和数学期望；
（3）计分不小于20分的概率．

Answer 1

分析：（1）分析从两个装着6个小球的盒子中任取3个小球所有取法总数，及三个小球有数字相同的取法数，进而根据对立事件概率减法公式，可得答案．
（2）由已知可得变量ξ的值可能为2，3，4，5，6，分别计算其概率，可得随机变量ξ的概率分布列，代入期望公式可得期望
（3）根据（2）中分布列，累加ξ的值为4，5，6三种情况的概率和可得答案．

解答：解：（1）从两个装着6个小球的盒子中任取3个小球，共有

C

3 12

种不同取法
其中三个小球有数字相同的事件有

C

1 6

•

C

1 10

种不同情况
记事件A为“三个数字互不相同”，
则P（A）=1-

C 1 6 C 1 10

C 3 12

=1-

60

220

=

8

11

；              …（4分）
（2）随机变量ξ的值可能为2，3，4，5，6，
则P（ξ=2）=

C 3 4

C 3 12

=

4

220

P（ξ=3）=

C 1 2 • C 2 4 + C 2 2 • C 1 4

C 3 12

=

16

220

P（ξ=4）=

C 1 2 • C 2 6 + C 2 2 • C 1 6

C 3 12

=

36

220

P（ξ=5）=

C 1 2 • C 2 8 + C 2 2 • C 1 8

C 3 12

=

64

220

P（ξ=6）=

C 1 2 • C 2 10 + C 2 2 • C 1 10

C 3 12

=

100

220

ξ	2	3	4	5	6
P	4 220	16 220	36 220	64 220	100 220

…（8分）
E（ξ）=

1

220

（2×4+3×16+4×36+5×64+6×100）=

56

11

；…（12分）
（3）计分不小于20分的概率P（ξ≥4）=P（ξ=4）+P（ξ=5）+P（ξ=6）=

36

220

+

64

220

+

100

220

=

10

11

．…（16分）

点评：本题考查的知识点是离散型随机变量的期望，等可能事件的概率，能利用组合数公式求出各种情况下基本事件的个数是解答的关键．