Question

1．设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调性与极值点．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切列关于a，b的方程组，解方程组求解a，b的值；
（2）求出原函数的导函数，由导函数大于0求解x的取值范围，得函数的增区间，由导函数小于0求解x的取值范围，得函数的减区间，从而得到函数的极值点．

解答 解：（1）由f（x）=x³-3ax+b（a≠0），得f′（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f（2）=8}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3（4-a）=0}\\{8-6a+b=8}\end{array}\right.$，
解得：a=4，b=24，
∴a=4，b=24；
（2）由f（x）=x³-3ax+b（a≠0），得f′（x）=3x²-3a，
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）为定义域上的增函数，函数f（x）不存在极值；
当a＞0时，由3x²-3a＞0，得x＜-$\sqrt{a}$或x＞$\sqrt{a}$，
由3x²-3a＜0，得-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，
∴函数f（x）在（-∞．-$\sqrt{a}$），（$\sqrt{a}$，+∞）上为增函数，在（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）上为减函数．
∴x=-$\sqrt{a}$是f（x）的极大值点，x=$\sqrt{a}$是f（x）的极小值点．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数导函数的符号与原函数的单调性之间的关系，是中档题