Question

已知直线m：2x-y-3=0，n：x+y-3=0．
（Ⅰ）求过两直线m，n交点且与直线x+3y-1=0平行的直线方程；
（Ⅱ）直线l过两直线m，n交点且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出两直线m，n交点，直线x+3y-1=0平行的斜率，然后求出直线方程；
（Ⅱ）方法一：求出直线l过两直线m，n交点，与x，y正半轴交于A、B两点，利用△ABO的面积为4，求出直线的斜率，然后求直线l的方程．
方法二：设出截距式方程，利用三角形的面积，求出直线方程．

解答：解：（Ⅰ）由

2x-y-3=0 x+y-3=0

，得

x=2 y=1

，所以m，n的交点为（2，1）…（3分）
又所求直线与x+3y-1=0平行，所以所求直线的斜率为-

1

3

，…（5分）
所求直线方程为y=-

1

3

(x-2)+1即y=-

1

3

x+

5

3

　　　　　　　…（7分）
（Ⅱ）方法一：由题可知，直线l的斜率k存在，且k＜0．
则直线l的方程为y=k（x-2）+1=kx-2k+1令x=0，得y=1-2k＞0
令y=0，得x=

2k-1

k

＞0
所以S△OAB=

1

2

(1-2k)

2k-1

k

=4，解得k=-

1

2

　　　　　…（13分）
所以l的方程为y=-

1

2

(x-2)+1=-

1

2

x+2　　　　　…（14分）
方法二：由题可知，直线l的横、纵截距a、b存在，且a＞0、b＞0，则l：

x

a

+

y

b

=1
又l过点（2，1），△ABO的面积为4
所以

2 a + 1 b =1 1 2 ab=4

，…（10分）
解得

a=4 b=2

，…（13分）
所以l方程为

x

4

+

y

2

=1即y=-

1

2

x+2．　　　　…（14分）

点评：本题考查两条直线的交点坐标，直线的方程的求法，考查计算能力．