Question

【题目】已知无穷数列的前项中的最大项为，最小项为，设

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

（3）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列.

Answer 1

【答案】（1）（2），当时，（3）证明见解析

【解析】

（1）根据数列为递增数列得到答案.

（2）计算，时，数列单调递减，故时，，利用分组求和与错位相减法计算得到答案.

（3）设数列的公差为，则，讨论，，三种情况，分别证明等差数列得到答案.

（1）是递增数列，所以，所以.

（2）由得，

当，即；当，即

又，所以，

当时，，

所以，

令，对应的前项和为，

则，，

两式相减化简整理得到：，

当时，.

综上所述，，当时，.

（3）设数列的公差为，则，

由题意，

①，对任意都成立，即，是递增数列.

所以，所以，

所以是公差为的等差数列；

②当时，对任意都成立，进而，

所以是递减数列.，所以

所以是公差为的等差数列；

③当时，，

因为与中至少有一个为0，所以二者都为0，进而为常数列，

综上所述，数列等差数列.