Question

已知分别是x轴，y轴方向上的单位向量，，在射线y=x（x≥0）上从下到上依次有点Bi=（i=1，2，3，…），（n=2，3，4…）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（III）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|是一个等比关系，故根据等比数列公式求其通项，从而求得结果；
（2）由题意（1）中数列的前n项和即为A_n的纵坐标，再由在射线y=x（x≥0）上依次有点B₁，B₂，…，B_n，…即可得出B_n的坐标；
（3）根据四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积来求，求出面积的表达式，再作差S_n-S_n-1，确定其单调性，然后求出最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴
（II）由（1）知，

=
∵|均在射线y=x（x≥0）上，
∴=．∴
（III）∵|=2n+3．
又|．
∴S_n=，（10分）
而S_n-S_n-1=＜0，
∴S₁＞S₂＞…＞S_n＞…
∴S_max=S₁=（12分）
点评：本题是一个数列应用题，也是等差等比数列的一个综合题，本题有着一个几何背景，需要做正确的转化和归纳，才能探究出正确的解决方法．本题是个难题，比较抽象．