Question

p：关于x的方程x²+2ax+3a²-a=0有实数解；q：关于x的不等式x²+3x+a＜0对x∈[-

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2

，0]恒成立．若p∨q为真，则实数a的取值范围是

（-∞，

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2

]

．

Answer 1

分析：当p为真命题时，由一元二次方程根的判别式得：0≤a≤

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2

．而当q为真命题时，不等式左边的最大值小于0，根据二次函数的图象与性质，得a的取值范围是：a＜0．因为“p∨q”是真命题，所以将两部分求出的范围取并集，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：当p为真命题时，△=4a²-4（3a²-a）≥0，解之得0≤a≤

1

2

当q为真命题时，函数y=x²+3x+a在[-

3

2

，0]上的最大值小于0
由二次函数的图象与性质，得函数最大值f（0）＜0，得a的取值范围是：a＜0
∵“p∨q”是真命题
∴p或q中至少有一个真命题，即“0≤a≤

1

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”或“a＜0”至少一个成立
因此，实数a的取值范围是a≤

1

2

故答案为：（-∞，

1

2

]

点评：本题以命题真假的判断载体，考查了一元二次方程根的判别式和二次不等式恒成立等知识点，属于中档题．