Question

已知命题p：关于x的方程x²+ax+a²-1=0有一正根和一负根；q：函数y=（2a²-a）^1-x为减函数，若p或q为真p且q为假，求实数a的范围．

Answer 1

分析：根据题意可得命题q得：a＜-

1

2

或a＞1．命题q：a＜-

1

2

或a＞1，且p、q中必一真一假．当p真q假时，由

-1＜a＜1 - 1 2 ≤a≤1

求得实数a的范围；当p假q真时，由

a≤-1或a≥1 a＜- 1 2 或a＞1

求得实数a的范围，再把实数a的范围取并集即得所求．

解答：解：令f（x）=x²+ax+a²-1，由题意得f（0）＜0，即a²-1＜0，
∴命题p即：-1＜a＜1．…（3分）
由命题q得：2a²-a＞1，即 a＜-

1

2

 或a＞1，
∴命题q即：a＜-

1

2

或a＞1．…（6分）
∵p或q为真p且q为假，∴p、q中必一真一假．
（1）当p真q假时，

-1＜a＜1 - 1 2 ≤a≤1

，∴-

1

2

≤a＜1．…（8分）
（2）当p假q真时，

a≤-1或a≥1 a＜- 1 2 或a＞1

，∴a≤-1或a＞1．…（10分）
∴实数a的范围是a≤-1或-

1

2

≤a＜1或a＞1，即（-∞，-1]∪[-

1

2

，1]∪（1，+∞）． …（12分）

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，符合命题的真假，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．