Question

周长为12的矩形围成圆柱（无底），当矩形的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少？

Answer 1

分析：由题意可设设圆柱为底面周长l，圆柱高为h，则有l+h=6，而圆柱的体积V=h×π(

6-h

2π

)2，可将其变为v=

1

8π

(2h×(6-h)×(6-h))，由基本不等式求体积的最大值，由等号成立的条件解出h的值，即可得出l的值，比可求得

解答：解：不妨设圆柱为底面周长l，圆柱高为h
则有l+h=6，
又圆柱的体积V=h×π(

6-h

2π

)2=

1

8π

(2h×(6-h)×(6-h))≤

1

8π

×(

2h+6-h+6-h

3

)3=

1

π

，
等号当且仅当2h=（6-h），h=2时成立，此时l=4
故有比为2：1
答：当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为2：1

点评：本题考查旋转体，本题解题的关键是对于所给的体积最大的体积的应用，写出表示式，根据函数的最值的求法求出两者之比，本题是一个中档题目．