Question

集合A={x|x²-2ax+4a²-3=0}，B={x|x²-x-2=0}，C={x|x²+2x-8=0}．
（1）是否存在实数a使A∩B=A∪B？若存在，试求a的值，若不存在，说明理由；
（2）若∅A∩B，A∩C=∅，求a的值．

Answer 1

解：（1）假设存在存在实数a使A∩B=A∪B，即A=B．
由题意得B={x|x²-x-2=0}={-1，2}，故-1，2是方程x²-2ax+4a²-3=0的两个根，
∴∴a=，
（2）解方程x²+2x-8=0，得C={-4，2}，∵∅A∩B，A∩C=∅，∴2∉A，-1∈A，
即x=-1是方程x²-2ax+4a²-3=0的根，且x=2不是此方程的根，
将x=-1代入，得（-1）²+2a+4a²-3=0，
∴a=-1或a=．
检验知a=-1即为所求．
分析：（1）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在存在实数a使A∩B=A∪B，即A=B．再利用根与系数的关系，求出a的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（2）解方程得C={-4，2}，根据题意：“∅A∩B，A∩C=∅”，得2∉A，-1∈A，即可求出a的值．
点评：本小题主要考查交、并、补集的混合运算、子集与真子集、集合的相等等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．