Question

已知函数f(x)=的定义域为R，且f(2)＞f(1).

(1)求证：a＞0，b＜0；

(2)求证：f(x)单调递增；

(3)若f(1)=，且f(x)在［0,1］上的最小值为，

求证：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)＞.

Answer 1

解：(1)证明：∵f(x)的定义域为R，

∴方程1+a·2^bx=0无解.

若a=0，则f(x)=1，与f(2)＞f(1)矛盾，

∵a≠0，∴2^bx=-无解.

∵2^bx＞0，∴-≤0.∴a＞0.

由f(2)＞f(1),得.

∴1+a·2^2b＜1+a·2^b，即a·2^2b＜a·2^b.

∵a＞0，2^b＞0，

∴2^b＜1.∴b＜0.                                                          

(2)设x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=，

∵x₁＜x₂，b＜0，∴bx₂＜bx₁.∴.

∴＜0.

又a＞0，∴＜0.

∴f(x₁)＜f(x₂).∴f(x)单调递增.                                     

(3)∵f(x)单调递增，

∴f(x)在［0,1］上的最小值为f(0)=.∴a=1.

又f(1)=，

∴2^b=.∴b=-2.

∴f(x)=.                              

∵1+4^x≥=2×2^x(当且仅当x=0时取等号)，

∴当x∈N时，f(x)＞1-.

∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)＞(1-)+(1-)+…+(1-)=n-

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