Question

距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离.你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？

Answer 1

解：(1)在平面直角坐标系中,已知P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),则|P₁P₂|=.

(2)在空间直角坐标系,如图,设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂)是空间中任意两点,且点P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂)在xOy平面上的射影分别为M、N,那么M、N的坐标为M(x₁,y₁,0)、N(x₂,y₂,0),在xOy平面上,|MN|=.

过点P₁作P₂N的垂线,垂足为H,则|MP₁|=|z₁|,|NP₂|=|z₂|,所以|HP₂|=|z₂-z₁|.

在Rt△P₁HP₂中,|P₁H|=|MN|=,

根据勾股定理,得

|P₁P₂|==.

因此,空间中点P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂)之间的距离

|P₁P₂|=.

(3)我们来确定P₁、P₂两点在柱坐标系中的距离公式：

根据空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式：P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂),有可得

|P₁P₂|=.

(4)我们来确定P₁、P₂两点在球坐标系中的距离公式：

空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为

P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂),有及.

可得|P₁P₂|=