Question

距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离试用两点的坐标表示这两点间的距离.

Answer 1

解:(1)在平面直角坐标系中,已知P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),则|P₁P₂|=.?

(2)在空间直角坐标系中,?

如图,设P₁(x₁,y₁,z₁)、P₂(x₂,y₂,z₂)是空间中任意两点,且点P₁(x₁,y₁,z₁)、P₂(x₂,y₂,z₂)在xOy平面上的射影分别为M、N,那么M、N的坐标为M(x₁,y₁,0)、N(x₂,y₂,0),在xOy平面上,|MN|=.?

过点P₁作P₂N的垂线,垂足为H,则|MP₁|=|z₁|,|NP₂|=|z₂|,所以|HP₂|=|z₂-z₁|.?

在Rt△P₁HP₂中,|P₁H|=|MN|=,根据勾股定理,得?

|P₁P₂|==.?

因此,空间中点P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂)之间的距离?

|P₁P₂|=.?

(3)我们来确定P₁、P₂两点在柱坐标系中的距离公式：?

根据空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式：

P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂),有可得|P₁P₂|=

(4)我们来确定P₁、P₂两点在球坐标系中的距离公式：?

空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为

P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂),有及

可得|P₁P₂|=