Question

【题目】已知为椭圆E： 的左、右顶点， ，E的两个焦点与E的短轴两个端点所构成的四边形是正方形．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设动点（），记直线与E的交点（不同于）到x轴的距离分别为，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1））由得，由的两个焦点与的短轴两个端点所构成的四边形是正方形．可得，又，解得，从而可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，直线的方程为，将两直线方程分别与椭圆方程联立，求得， ，从而 ，利用基本不等式可得结果.

试题解析：（1）由得，则．

因为E的两个焦点与E的短轴两个端点所构成的四边形是正方形．

所以，又，解得，

故椭圆E的方程为．

（2）不妨设．直线的方程为，直线的方程为，

设，

由得，可得．

又由得，可得．

则 ．

因为，当且仅当取等号，则，

即．当且仅当取等号．