Question

（本小题满分14分）

已知：函数.

(1) 若，且在上的最大值为，最小值为，令，求的表达式；

(2) 在(1)的条件下，求证：；

（3）设，证明对任意的，.

Answer 1

解：（1）∵

由得 ∴.-----------------------2分

当，即时，,故；-----------3分

当，即时，，故.-------------4分

∴-------------------------------------------------5分

（2）∵当时，，∴函数在上为减函数；---------6分

当时，，∴函数在上为增函数，-------------7分

∴当时，取最小值，,-------------------------------8分

故.------------------------------------------------------------------9分

（3）∵当时，抛物线开口向上，对称轴为，

∴函数在上为增函数，-----------------------------------------------------------10分

（或由得，∴函数在上为增函数）

不妨设，由得

∴

令，----------------------------------12分

∵抛物线开口向上，对称轴为，且

∴函数在上单调递增，∴对任意的，

有，即-----------14分