Question

已知在数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²，其中t＞0，x=

t

是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）当t=2时，令bn=

an-1

(an+1)(an+1+1)

，数列{b_n}前n项的和为S_n，求证：S_n＜

1

6

（Ⅲ）设cn=

1

2

an

(2n+1)(2n+1+1)

，数列{c_n}前n项的和为T_n，求同时满足下列两个条件的t的值：
（1）Tn＜

1

6

（2）对于任意的m∈(0，

1

6

)，均存在k∈N*，当n≥k时，T_n＞m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用x=

t

是函数的一个极值点找到数列{a_n}的递推公式，再利用数列{a_n}的递推公式求出数列{a_n}的通项公式即可．
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论求出数列{b_n}的通项公式，在利用裂项求和法求出数列{b_n}前n项的和为S_n，就可证明结论．
（Ⅲ）先利用（Ⅱ）的结论得出t=2时符合要求，再对t≠2时分两种情况分别求t，看是否有符合要求的t即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：f′（

t

）=0即3a_n-1t-3[（t+1）a_n-a_n+1]=0
故a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2）
则当t≠1时，数列{a_n+1-a_n}是以t²-t为首项
t为公比的等比数列
∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1
由a_n+1-a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）
=t+（t²-t）[1+t+t²++t^n-2]
=t+（t²-t）•

1-tn-1

1-t

=tⁿ
此式对t=1也成立
∴a_n=tⁿ（n∈N^*）（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）bn=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1-1

)，
所以Sn=

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＜

1

6

故：S_n＜

1

6

．
（Ⅲ）（1）当t=2时，由（Ⅱ）得Tn=

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＜

1

6

，
Tn=

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＞m?n＞log2(

1

1 3 -2m

-1)-1＞0
取k=[log2(

1

1 3 -2m

-1)-1]，当n≥k时，T_n＞m
（2）当t＜2时，

tn

2n

=(

t

2

)n≤

t

2

，
所以tn≤

t

2

2n，Tn≤

t

2

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＜

t

12

＜

1

6

取m=

t

12

∈(0，

1

6

)，
因为Tn＜

t

12

，不存在k，使得当n≥k时，T_n＞m
（3）当t＞2时，

tn

2n

=(

t

2

)n≥

t

2

，tn≥

t

2

2n，Tn≥

t

2

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)，
由（1）可知存在k∈N*，当n≥k时

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＞

1

3t

，
故存在k∈N*，当n≥k时，Tn≥

t

2

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＞

t

2

1

3t

=

1

6

综上，t=2

点评：本题是借助于函数的极值点来研究数列的通项以及利用裂项求和法求数列的和．是一道不太容易的题．需要综合的知识点较多．