Question

设函数f（x）=x³-3x²+ax（a∈R）．
（1）当a=-9时，求函数f（x）的极大值；
（2）若函数f（x）的图象与函数ϕ（x）=-xlnx的图象有三个不同的交点，求a的取值范围；
（3）设g（x）=|f（x）|，当a＞0时，求函数g（x）的单调减区间．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-9时，由f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）=0，得x=3或x=-1，列表讨论能求出函数f（x）的极大值．
（2）由f（x）=-xlnx，得a=-x²+3x-lnx，构造函数h（x）=-x²+3x-lnx，则h′(x)=-2x+3-

1

x

=

-2(x-1)(2x-1)

x

，列表讨论，能求出a的取值范围．
（3）由f'（x）=3x²-6x+a=3（x-1）²+a-3，根据a的取值范围分类讨论，由此能求出函数g（x）的单调减区间．

解答： （本小题满分16分）
解：（1）当a=-9时，由f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）=0，
得x=3或x=-1，（2分）
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大	递减	极小	递增

所以当x=-1时，函数f（x）取得极大值为5．…（4分）
（2）由f（x）=-xlnx，得x³-3x²+ax=-xlnx，
即a=-x²+3x-lnx，…（6分）
令h（x）=-x²+3x-lnx，
则h′(x)=-2x+3-

1

x

=

-2(x-1)(2x-1)

x

，
列表，得

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值 5 4 +ln2	递增	极大值2	递减

…（8分）
由题意知，方程a=h（x）有三个不同的根，
故a的取值范围是(

5

4

+ln2，2)．…（10分）
（3）因为f'（x）=3x²-6x+a=3（x-1）²+a-3，
所以当a≥3时，f（x）在R上单调递增；
当0＜a＜3时，f'（x）=0的两根为1±

1- a 3

，
且0＜1-

1- a 3

＜1＜1+

1- a 3

，
所以此时f（x）在(-∞，1-

1- a 3

)上递增，
在(1-

1- a 3

，1+

1- a 3

)上递减，在(1+

1- a 3

，+∞)上递增，…（12分）
令f（x）=0，得x=0，或x²-3x+a=0（*），
当a≥

9

4

时，方程（*）无实根或有相等实根，
当0＜a＜

9

4

时，方程（*）有两根

3

2

±

9 4 -a

，…（13分）
综上：①当a≥3时，函数g（x）的单调减区间为（-∞，0）； …（14分）
②当

9

4

 ≤ a＜3时，函数g（x）的单调减区间为（-∞，0），(1-

1- a 3

，1+

1- a 3

)； （15分）
③当0＜a＜

9

4

时，函数g（x）的单调减区间为（-∞，0），(1-

1- a 3

，

3

2

-

9 4 -a

)，(1+

1- a 3

，

3

2

+

9 4 -a

)．…（16分）

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．