Question

已知点C为圆（x+1）²+y²=8的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（2）设过点（0，2）且斜率为2的直线l与（1）中所求的曲线交于B，D两点，O为坐标原点，求△BDO的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）把题中条件转化为MQ是线段AP的垂直平分线，得出点Q的轨迹是以点C和点A为焦点，半焦距c=1，长半轴的a=的椭圆即可点Q的轨迹方程；
（2）求出（0，0）到直线L的距离以及利用弦长公式求出|BD|的长即可求△BDO的面积．
解答：解：（1）由题得，MQ是线段AP的垂直平分线，故|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=|CP|=2＞|CA|=2，
于是点Q的轨迹是以点C和点A为焦点，半焦距c=1，长半轴的a=的椭圆，短半轴b==1．
所以点Q的轨迹方程是：=1．．
（2）因直线L过点（0，2）且斜率为2，则直线方程为y=2x+2，即2x-y+2=0．
故点（0，0）到直线L的距离d==．．
把y=2x+2代入（1）中的方程+y²=1，化简得9x²+16x+6=0．△=16²-4×9×6=40＞0
．设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
∴|BD|=|x₁-x₂|=]=．
故△BDO的面积S_△BOD=•|BD|•d=．
点评：在求动点的轨迹方程问题时，一般是利用条件找到动点所在曲线或找到关于动点坐标的等式，可得动点的轨迹方程．