Question

13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），设直线l与椭圆C相交于A，B，求线段AB的长．

Answer 1

分析 分别求出椭圆C和直线l的直角坐标方程，联立方程组能求出弦长|AB|．

解答 解：∵椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
消去参数，得椭圆C的直角坐标方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
∵直线l的极坐标方程θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），
∴直线l的直角坐标方程为y=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得A（$\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{5}}{5}$），B（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查极坐标、直角坐标的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．