Question

15．数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n（n=1，2，3，…），则a_n=（n+1）•2^n-2．

Answer 1

分析 由已知得a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），从而nS_n+1=2（n+1）S_n，进而得到数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首项为1，公比为2的等比数列．由此求出${S}_{n}=n•{2}^{n-1}$，从而能求出a_n．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n（n=1，2，3，），
∴a₂=$\frac{2+1}{1}$S₁=3a₁，∴$\frac{{S}_{2}}{2}$=$\frac{4{a}_{1}}{2}$=2，$\frac{{S}_{1}}{1}$=1，
∴$\frac{\frac{{S}_{2}}{2}}{\frac{{S}_{1}}{1}}$=2
又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），
则S_n+1-S_n=$\frac{n+2}{n}$S_n（n=1，2，3，），
∴nS_n+1=2（n+1）S_n，∴$\frac{\frac{{S}_{n+1}}{n+1}}{\frac{{S}_{n}}{n}}$=2（n=1，2，3，…），
故数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首项为1，公比为2的等比数列．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}={2}^{n-1}$，∴${S}_{n}=n•{2}^{n-1}$，
∴${a}_{1}=1×{2}^{1-1}$=1，
a_n=S_n-S_n-1=n•2^n-1-（n-1）•2^n-2=（n+1）•2^n-2．
n=1时，上式成立，
∴a_n=（n+1）•2^n-2．
故答案为：（n+1）•2^n-2．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法及等比数列的性质的合理运用．