Question

若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂[f（a）]=2（a≠1）．
（1）求f（log₂x）的最小值及对应的x值；
（2）x取何值时，f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]＜f（1）？

Answer 1

分析：（1）把log₂a代入f（x）中，解关于log₂a的一元二次方程，求出a的值；再把f（a）的值代入log2[f（a）]=2中，求出b的值；从而确定函数f（x）的解析式；把log₂x代入函数f（x）中，配方法求f（log₂x）的最小值及对应的x值；
（2）利用对数恒等式和对数函数的单调性解不等式．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-x+b，∴f（log₂a）=log₂²a-log₂a+b．
由已知有log₂²a-log₂a+b=b，∴（log₂a-1）log₂a=0．（3分）
∵a≠1，∴log₂a=1．∴a=2．（5分）
又log₂[f（a）]=2，∴f（a）=4．
∴a²-a+b=4，b=4-a²+a=2．（8分）
故f（x）=x²-x+2，从而f（log₂x）=log₂²x-log₂x+2=（log₂x-

1

2

）²+

7

4

．
∴当log₂x=

1

2

即x=

2

时，f（log₂x）有最小值

7

4

．（12分）
（2）由题意

log22x-log2x+2＞2 log2(x2-x+2)＜2

?

x＞2或0＜x＜1 -1＜x＜2

?0＜x＜1．（16分）

点评：利用对数恒等式和对数函数的单调性解不等式，注意对数函数的定义域，是易错点，属中档题．