Question

已知x＞，函数f（x）=x²，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；
（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）=-4x²+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）把两个函数相减构造新函数，求函数的导数，使得导数大于0，得到函数的函数的单调区间，求出函数的最小值，最小值等于0，得到两个函数之间的大小关系．
（II）构造新函数v（x）=h（x）-g（x）=2elnx+4x²-px-q，v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，利用导数求出新函数的单调区间和最值，求出两个函数同时成立时p，q的值．
解答：解：（I）证明：记u（x）=f（x）-h（x）=x²-2elnx，
则，
令u'（x）＞0，注意到，可得，
所以函数u（x）在上单调递减，在上单调递增．，即u（x）≥0，
∴f（x）≥h（x）．
（II）由（I）知，f（x）≥h（x）对恒成立，当且仅当时等号成立，
记v（x）=h（x）-g（x）=2elnx+4x²-px-q，则
“v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，
即v（x）≥0对恒成立，当且仅当时等号成立，
所以函数v（x）在时取极小值，
注意到，
由，解得，
此时，
由知，函数v（x）在上单调递减，在上单调递增，
即=0，q=-5e，
综上，两个条件能同时成立，此时．
点评：本题考查函数的导数在最值中的应用，解题的关键是构造新函数，利用函数恒成立的思想解决问题，注意本题的运算也比较多，不要在这种运算上出错．