Question

已知：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，
∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求直线EF与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA⊥平面ABCD，且PA=2，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，我们分别计算出棱锥的底面面积和高，然后代入棱锥体积公式，即可得到答案．
（2）由已知中EF∥PB，PA⊥平面ABCD，可得∠PBA等于FE与平面ABCD所成的角，解三角形PBA，即可得到直线EF与平面ABCD所成角的大小．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，且PA=2，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°
∴S_ABCD=2

3

∴VP-ABCD=

4 3

3

（6分）
（2）∵EF∥PB，PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA等于FE与平面ABCD所成的角．（10分）
∵Rt△PAB中，PA=AB
∴∠PBA=

π

4

得直线EF与平面ABCD所成角大小为

π

4

（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，棱锥的体积，其中（1）的关键是根据已知求出棱锥的底面面积和高，（2）的关键是求出直线EF与平面ABCD所成角的平面角．