Question

12．下列函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（　　）

• A． $y=x+\frac{1}{x}$
• B． y=xsinx+cosx
• C． $y={e^x}-\frac{1}{e^x}$
• D． $y=ln\frac{1-x}{1+x}$

Answer 1

分析 根据单调性的定义可以判断函数$y=x+\frac{1}{x}$在（0，1）上单调递减，从而A错误；根据奇函数在原点有定义时x=0对应的函数值便可判断B错误；根据奇函数的定义，以及函数导数符号和函数单调性的关系便可判断出C满足条件；而对于D先分离常数，然后可根据单调性的定义判断该函数在（0，1）内单调递减，从而D错误．

解答 解：A．x∈（0，1）时，$\frac{1}{x}$＞1，∴x增大速度小于$\frac{1}{x}$的减小速度；
∴该函数在（0，1）上单调递减；
B．y=xsinx+cosx的定义域为R；
x=0时，y=1≠0；
∴该函数不是奇函数；
C．该函数定义域为R，设y=f（x），则：f（-x）=$\frac{1}{{e}^{x}}-{e}^{x}=-f（x）$；
∴该函数为奇函数；
$f′（x）={e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}＞0$；
∴该函数在（0，1）内单调递增；
∴该选项正确；
D.$y=ln\frac{1-x}{1+x}=ln（-1+\frac{2}{1+x}）$；
∴x增大时，$-1+\frac{2}{1+x}$减小，∴y减小；
∴该函数在（0，1）上单调递减．
故选C．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性的定义判断一个函数单调性的方法，奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时，f（0）=0，以及分离常数法的运用．