Question

3．已知O为坐标原点，椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点．
（Ⅰ）求△F₁PF₂周长的最小值；
（Ⅱ）设直线PF₁和PF₂的斜率分别为k₁，k₂，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
①证明：$\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}$=2；
②当直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0时，求直线l上点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过F₂作直线x+y=2的对称点M，由对称知识，可得M的坐标，即有|PF₁|+|PF₂|的最小值为|MF₁|，可得△F₁PF₂周长的最小值；
（Ⅱ）①把直线PF₁、PF₂的方程联立求得交点的坐标的表达式，代入直线x+y=2上，整理求得$\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}$=2，原式得证；
②设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF₁和椭圆的方程根据韦达定理表示出x_A+x_B和x_Ax_B，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0推断出k₁+k₂=0或k₁k₂=1，分别讨论求得p．

解答 解：（Ⅰ）过F₂作直线x+y=2的对称点M，设M（m，n），
椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1的a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
即有F₁（-1，0）、F₂（1，0），
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（m+1）+\frac{1}{2}n=2}\\{\frac{n}{m-1}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=1}\end{array}\right.$，
即为M（2，1），则|PF₁|+|PF₂|的最小值为
|MF₁|=$\sqrt{（2+1）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
则△F₁PF₂周长的最小值为|F₁F₂|+|MF₁|=2+$\sqrt{10}$；
（Ⅱ）①由于F₁（-1，0）、F₂（1，0），
PF₁，PF₂的斜率分别是k₁，k₂，且点P不在x轴上，
所以k₁≠k₂，k₁≠0，k₂≠0．
又直线PF₁、PF₂的方程分别为y=k₁（x+1），y=k₂（x-1），
联立方程解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{k}_{2}-{k}_{1}}}\\{y=\frac{2{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{2}-{k}_{1}}}\end{array}\right.$，
所以P（$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$，$\frac{2{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$），由于点P在直线x+y=2上，
所以$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$+$\frac{2{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$=2，即2k₁k₂+3k₁-k₂=0，
故$\frac{1}{{k}_{1}}$-$\frac{3}{{k}_{2}}$=2；
②由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}（x+1）}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$，得$（1+2k_1^2）{x^2}+4k_1^2x+2k_1^2-2=0$，
即有$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{-4k_1^2}{1+2k_1^2}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{2（k_1^2-1）}{1+2k_1^2}}\end{array}}\right.$，${k_{OA}}+{k_{OB}}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=\frac{{{k_1}（{x_1}+1）}}{x_1}+\frac{{{k_1}（{x_2}+1）}}{x_2}={k_1}（2+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）={k_1}（2+\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}）=\frac{{2{k_1}}}{1-k_1^2}$，
同样可算得，k_OC+k_OD=$\frac{2{k}_{2}}{1-{{k}_{2}}^{2}}$，
由k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0，得$\frac{{2{k_1}}}{k_1^2-1}+\frac{{2{k_2}}}{k_2^2-1}=0$，
整理得（k₁+k₂）（k₁k₂-1）=0，即k₁+k₂=0或k₁k₂=1，
又因为$\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=2$，由$\left\{{\begin{array}{l}{{k_1}+{k_2}=0}\\{\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=2}\end{array}}\right.，\left\{{\begin{array}{l}{{k_1}=2}\\{{k_2}=-2}\end{array}}\right.，P（0，2）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}{k}_{2}=1}\\{\frac{1}{{k}_{1}}-\frac{3}{{k}_{2}}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{{k}_{2}=-1}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{{\begin{array}{l}{{k_1}=\frac{1}{3}}\\{{k_2}=3}\end{array}}\right.，P（\frac{5}{4}，\frac{3}{4}）$，
综上可得，P（0，2）或$P（\frac{5}{4}，\frac{3}{4}）$．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的关系的综合问题，椭圆的简单性质．考查了学生综合推理能力，基本计算能力．