Question

已知函数f（x）=-

1

3

x³+（

a

2

-1）x²+ax（a∈R）
（I）证明：函数f（x）总有两个极值点x₁，x₂且|x₁-x₂|≥2；
（II）设函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，令f′（x）=0，则△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，可得函数f（x）总有两个极值点x₁，x₂，利用韦达定理，可以证明|x₁-x₂|≥2；
（II）由（I）知函数的单调递增区间为（x₁，x₂）（不妨设x₁＜x₂），利用函数f（x）在（-1，1）上单调递增，可得（-1，1）⊆（x₁，x₂），从而可建立不等式组，即可确定a的取值范围．

解答：（I）证明：求导函数可得f′（x）=-x²+（a-2）x+a
令f′（x）=0，则△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，∴函数f（x）总有两个极值点x₁，x₂，
且x₁+x₂=a-2，x₁x₂=-a
∴|x₁-x₂|=

(a-2)2+4a

=

a2+4

≥2；  
（II）解：由（I）知函数的单调递增区间为（x₁，x₂）（不妨设x₁＜x₂）
∵函数f（x）在（-1，1）上单调递增，
∴（-1，1）⊆（x₁，x₂）
∴

a-2- a2+4 2 ≤-1 a-2+ a2+4 2 ≥1

∴a≥

3

2

∴a的取值范围是[

3

2

，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查韦达定理的运用，正确确定方程的根是关键．