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    对于正整数，用表示的最大奇因数，如：，……. 记，其中是正整数.

    （I）写出，，，并归纳猜想与N）的关系式；

    （II）证明（I）的结论；

    （Ⅲ）求的表达式.

    （Ⅰ） 2、6、22    时，（Ⅲ）


    解析:

    （I），

     

       .   …………..3分

    猜想时，.          ………………………………………5分

      （II）证明：若为奇数，则；

         若为偶数，则. 若为奇数，则；反之，若 为

    偶数，则可重复上述步骤得到.   ………………………………………..7分

    由此可知：时，

       .

     即当时，成立.     ………………………………………..10分

       （Ⅲ）由（I）知，当时，，故有

         

               ，也满足此式.  ……………………………13分

              故N，且.   

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    （I）写出a1，a2，a3，并归纳猜想an与an-1（n≥2，n∈N）的关系式；
    （II）证明（I）的结论；
    （Ⅲ）求an的表达式．

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