Question

x2

4

+

y2

3

=1上有一动点P，圆E：（x-1）²+y²=1，过圆心E任意做一条直线与圆E交于A、B两点，圆F：：（x+1）²+y²=1，过圆心任意做一条直线交圆F于C、D两点，则

PA

•

PB

+

PC

•

PD

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先利用条件得出

EA

与

EB

互为相反向量，且长为1．再利用向量的三角形法则和向量的数量积的运算求出

PA

•

PB

的表达式；同理求出

PC

•

PD

，再与点P是椭圆上的点相结合即可求出结论．

解答：解：设P（a，b）
则由已知得

EA

与

EB

互为相反向量，且长为1．
又∵

PA

=

PE

+

EA

，

PB

=

PE

+

EB

，
∴

PA

•

PB

 =(

PE

+

EA

)  •(

PE

+

EB

)=

PE

2+

PE

•（

EA

+

EB

）+

EA

•

EB

=

PE

2+0-1=

PE

2-1；
同理可得

PC

•

PD

=

PF

2-1．
故

PA

•

PB

+

PC

•

PD

=

PE

2+

PF

2-2=（a-1）²+b²+（a+1）²+b²-2=2（a²+b²）    ①．
又因为点P（a，b）在

x2

4

+

y2

3

=1上，所以有

a2

4

+

b2

3

=1⇒b²=3（1-

a2

4

）      ②．
把②代入①整理得，

PA

•

PB

+

PC

•

PD

=2（3+

a2

4

）≥6．
故答案为6．

点评：本题主要考查向量基本知识以及圆与圆锥曲线的综合问题．是对知识点的一个综合考查，属于中档题．