【题目】在直角坐标系xOy中,已知点A(a,a),B(2,3),C(3,2).
(1)若向量 ,
的夹角为钝角,求实数a的取值范围;
(2)若a=1,点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上, =m
+n
(m,n∈R),求m﹣n的最大值.
【答案】
(1)解:由A(a,a),B(2,3),C(3,2).
得 ,
由题意, ,
得2<a<3且a ,
∴
(2)解:a=1时,A(1,1),B(2,3),C(3,2).
作出△ABC三边围成的区域如图:
∵ ,∴(x,y)=m(1,2)+n(2,1),
即x=m+2n,y=2m+n,解得m﹣n=y﹣x,令y﹣x=t,
由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m﹣n的最大值为1
【解析】(1)由已知点的坐标求出 的坐标,再由向量
,
的夹角为钝角可得
<0,且A、B、C不共线,由此列式求得实数a的取值范围;(2)画出△ABC三边围成的区域,结合
=m
+n
可得x=m+2n,y=2m+n,解得m﹣n=y﹣x,令y﹣x=t,再由线性规划知识求得m﹣n的最大值.
【考点精析】掌握平面向量的基本定理及其意义是解答本题的根本,需要知道如果、
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量
,有且只有一对实数
、
,使
.
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【题目】我们定义渐近线:已知曲线C,如果存在一条直线,当曲线C上任意一点M沿曲线运动时,M可无限趋近于该直线但永远达不到,那么这条直线称为这条曲线的渐近线:下列函数:①y= ;②y=2x﹣1;③y=lg(x﹣1);④y=
;其中有渐近线的函数的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为.
(1)分别求出m,n的值;
(2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差和
,并由此分析两组技工的加工水平;
(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行检测,若两人加工的合格零件个数之和大于18,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量合格”的概率.
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【题目】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求分数在[120,130)内的频率;
(2)估计本次考试的中位数;
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.
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【题目】如图所示,是正方形
所在平面外一点,
在面
上的正投影
,
∥
,
.有以下四个命题:
(1)⊥面
;(2)
;
(3)以作为邻边的平行四边形面积是8;
(4)恰在
上.
其中正确命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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