Question

【题目】在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2，3），C（3，2）．
（1）若向量 ， 的夹角为钝角，求实数a的取值范围；
（2）若a=1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上， =m +n （m，n∈R），求m﹣n的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由A（a，a），B（2，3），C（3，2）．

得 ，

由题意， ，

得2＜a＜3且a ，

∴

（2）解：a=1时，A（1，1），B（2，3），C（3，2）．

作出△ABC三边围成的区域如图：

∵ ，∴（x，y）=m（1，2）+n（2，1），

即x=m+2n，y=2m+n，解得m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，

由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1

【解析】（1）由已知点的坐标求出 的坐标，再由向量 ， 的夹角为钝角可得 ＜0，且A、B、C不共线，由此列式求得实数a的取值范围；（2）画出△ABC三边围成的区域，结合 =m +n 可得x=m+2n，y=2m+n，解得m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，再由线性规划知识求得m﹣n的最大值．
【考点精析】掌握平面向量的基本定理及其意义是解答本题的根本，需要知道如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．