Question

设f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，是否存在g（n），使等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）[f（n）-1]对n≥2的一切自然数都成立，并证明你的结论．

Answer 1

由于f（1）=1，f（2）=1+

1

2

，f（3）=1+

1

2

+

1

3

，…，f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n-1）
=（n-1）×1+（n-2）×

1

2

+（n-3）×

1

3

+…+[n-（n-2）]×

1

n-2

+[n-（n-1）]×

1

n-1

=n[1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

]-（n-1）×1=n（

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

），
而g（n）[f（n）-1]=g（n）[（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-1]=g（n）（

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

），
故由等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）[f（n）-1]，
可得n（

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

）=g（n）（

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

），
解得g（n）=n，
故存在g（n）满足条件，且通项公式为 g（n）=n．