Question

【题目】已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝，求a＋c的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，

∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，

∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，

∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0，

即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A，

∴cos B＝－.

∵0°<B<180°，

∴B＝120°.

(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝ (a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号，

∴(a＋c)2≤4，∴a＋c≤2，

又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．