Question

已知两定点A(0，-1)，C(0，2)，动点M满足∠MCA=2∠MAC.

(Ⅰ)求动点M的轨迹Q的方程；

(Ⅱ)设曲线Q与y轴的交点为B，点B、F是曲线Q上两个不同的动点，且=0，直线AE与BF交于点P(x₀，y₀)，求证：为定值;

(Ⅲ)在第(Ⅱ)问的条件下，求证：过点p′(0，y₀)和点E的直线是曲线Q的一条切线.

(Ⅳ)在第(Ⅱ)问的条件下，试问是否存在点E使得(或)，若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)设动点M(x,y),因为∠MCA=2∠MAC

所以

化简得：y²=1(y＞1)

(Ⅱ)由=0可设点E(x₁,y₁),F(-x₁,y₁)则由A、P、E三点共线可得x₀(y₁+1)=(y₀+1)x₁,同理可得：x₀(y₁-1)=-(y₀-1)x₁,

两式相乘得：(-1)=(-1),又因为=1,所以==3.

(Ⅲ)点E处曲线Q的切线的斜率为y′=,则切线方程为x₁x-y+3=0,AE、BF的方程为y+1=x,y-1=x,则y₀=,

所以P′在上述切线上,即过点P′(0,y₀)和点E的直线是曲线Q的一条切线.

(Ⅳ)先证：∠CEP′=∠BEA

Tan∠CEP′=(其中用到代换)

Tan∠BEA=由此可得：∠CEP′=∠BEA.

要使,则只需S_△CEP′=S_△BEA,

即|CP′|=|AB|=2.而|CP′|=2＜2,因此不存在点E使得成立.

另解：同前可得∠CEP′=∠BEA,要使

则只需,

即+(2-y₁)(-y₁)=,化简得-2=0,显然不成立.