Question

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=2，AA₁=1，直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A₁B₁的中点．
（I）求异面直线AE与BF所成的角；
（II）求平面BDF与平面AA₁B所成二面角（锐角）的大小
（III）求点A到平面BDF的距离．

Answer 1

分析：解法一： 在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．比如此题中，我们可以以A为坐标原点，分别以AB、AD、AA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz．这种解法的好处就是：①解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．②即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可． （I）∵ AE =( 1 2 ， 3 2 ，0)， BF =(-1，0，1)，∴cos＜ AE ， BF ＞= AE . BF | AE || BF | ．即异面直线AE、BF所成的角为arccos 2 4 ． （II）易知平面AA1B的一个法向量 m =(0，1，0)．设 n =(x，y，z)是平面BDF的一个法向量，即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）大小为向量． （III）点A到平面BDF的距离，即 AB 在平面BDF的法向量 n 上的投影的绝对值，所以距离d=|| AB |．cos＜ AB ， n ＞| 解法二： （I）求异面直线所成的角，也可以做适当的平移，把异面直线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移时主要是根据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等．连接B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K，则FK∥AE．∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角． （II）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由于DA⊥面AA2B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连接DG，由三垂线定理知BG⊥DG．∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角． （III）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．由（II）知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面确的平面角所在的平面∴面AFD⊥面BDF．在Rt△ADF，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离．

解答：解：法一：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y 轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图． 由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1）． 又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角即为∠DBA=30°， 又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD= 2 3 3 ， 从而易得E( 1 2 ， 3 2 ，0)，D(0， 2 3 3 ，0)． （I）∵ AE =( 1 2 ， 3 2 ，0)， BF =(-1，0，1)， ∴cos＜ AE ， BF ＞= AE . BF | AE || BF | = - 1 2 2 =- 2 4 ． 即异面直线AE、B所成的角为arccos 2 4 ．] （II）易知平面AA1B的一个法向量 m =(0，1，0)． 设 n =(x，y，z)是平面BDF的一个法向量， BD =(-2， 2 3 3 ，0)． 由 n ⊥ BF n ⊥ BD ? n . BF =0 n . BD =0 ? -x+z=0 2x- 2 3 3 y=0 ? x=z 3 x=y ， 取 n =(1， 3 ，1)，∴cos＜ m ， n ＞= m . n | m || n | = 3 1× 5 = 15 5 ． 即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）大小为arccos 15 5 ． （III）点A到平面BDF的距离，即 AB 在平面BDF的法向量 n 上的投影的绝对值， 所以距离d=|| AB |．cos＜ AB ， n ＞| || AB |. AB . n | AB || n | = | AB . n | | n | = 2 5 = 2 5 5 . 所以点A到平面BDF的距离为 2 5 5 ． 解法二：（I）连接B1D1，过F作B1D1的垂线， 垂足为K，∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直， ∴ FK⊥BB1 FK⊥B1D1 B1D1∩BB1=B1 ?FK⊥平面BDD1B1， 又 AE⊥BB1 AE⊥BD BB1∩BD=B ?AE⊥平面BDD1B1， 因此FK∥AE．∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角． 连接BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK， 从而△BKF为Rt△． 在Rt△B1KF和Rt△B1D1A1中， 由 FK B1F = A1D1 B1D1 得FK= A1D1．B1F B1D1 = AD. 1 2 AB BD = 2 3 3 ×1 22+( 2 3 3 )2 = 1 2 ． 又BF= 2 ，∴cos∠BFK= FK BF = 2 4 ． ∴异面直线BF与AE所成的角为arccos 2 4 ． （II）由于DA⊥面AA2B，由A作BF的垂线AG，垂足为G， 连接DG，由三垂线定理知BG⊥DG． ∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角， 且∠DAG=90°，在平面AA1B中，延长BF与AA1交于 点S，∵F为A2B1的中点，A1F∥= 1 2 AB， 即SA=2A1A=2=AB，∴Rt△BAS为等腰直角三角形， 垂足G点为斜边SB的中点F，即F、G重合． 易得AG=AF= 1 2 SB= 2 ．在Rt△BAS中，AD= 2 3