Question

20．给出下列命题：
①角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则sinα=|MP|；
②存在x∈（0，$\frac{π}{2}$），使sinx+cosx=$\frac{1}{3}$；
③将函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到的函数关于（$\frac{π}{2}$，0）成中心对称；
④y=sinx与y=x在定义域R上有且只有一个公共点．
其中错误的命题为①②（把所有符合要求的命题序号都填上）．

Answer 1

分析 根据正弦线的定义，可判断①；根据辅助角公式及正弦型函数的图象和性质，可判断②；根据函数图象的变换方式及正弦型函数的图象和性质，可判断③；分析函数f（x）=sinx-x零点的个数，可判断④．

解答 解：①角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则sinα=$\overrightarrow{MP}$，故错误；
②当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，$\frac{1}{3}$∉（1，$\sqrt{2}$]，故错误；
③将函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象，
再向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到的函数y=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx的图象，关于（$\frac{π}{2}$，0）成中心对称，故正确；
④令f（x）=sinx-x，则f′（x）=cosx-1≤0恒成立，故f（x）在R为减函数，
又由f（0）=0，故f（x）有且只有一个零点，故y=sinx与y=x在定义域R上有且只有一个公共点，故④正确；
故错误的命题有：①②，
故答案为：①②

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数线，正弦型函数的图象和性质，函数图象的变换，函数图象的交点等知识点，难度中档．