Question

（2013•兰州一模）某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．
（Ⅰ）若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：

日需求量x	240	250	260	270	280	290	300
频数	10	20	16	16	15	13	10

以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率．
（1）若售报亭一天购进270份报纸，ξ表示当天的利润（单位：元），求ξ的数学期望；
（2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好？说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，当x≥270时，y=270×（1-0.4）=162；当x＜270时，y=（1-0.4）x+（270-x）×0.1-（270-x）×0.4，写成分段函数即可；
（Ⅱ）（1）ξ可取135、144、153、162，分别求其概率可得Eξ，（2）当购进报纸280张时，可得当天的利润，比较它和Eξ的大小，选大者．

解答：解：（Ⅰ）当x≥270时，y=270×（1-0.4）=162；
当x＜270时，y=（1-0.4）x+（270-x）×0.1-（270-x）×0.4=0.9x-81，
∴y=

0.9x-81，(x＜270) 162，        (x≥270)

(x∈N)…（5分）
（Ⅱ）（1）ξ可取135、144、153、162，
则P（ξ=135）=0.1，P（ξ=144）=0.2，
P（ξ=153）=0.16，P（ξ=162）=0.54．
∴Eξ=135×0.1+144×0.2+153×0.16+162×0.54=154.26．…（9分）
（2）购进报纸280张，当天的利润为y=（0.6×240-40×0.3）×0.1
+（0.6×250-30×0.3）×0.2+（0.6×260-20×0.3）×0.16（0.6×270-10×0.3）
×0.16+280×0.6×0.38=154.68＞154.26，
所以每天购进280张报纸好                               …（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，涉及函数解析式的求解，属中档题．