Question

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²-y²=1．
（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）过点Q(-

2

，

2

)作直线l与双曲线C₁有且只有一个交点，求直线l的方程；
（3）设椭圆C₂：4x²+y²=1．若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．
（2）过点Q(-

2

，

2

)作直线l与双曲线C₁有且只有一个交点，直线l与双曲线的渐近线平行，可得结论；
（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为

3

3

．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞

2

2

），推出直线OM的方程为y=

1

k

x，利用

y=kx 4x2+y2=1

，求|ON|²=

1+k2

4+k2

．同理|OM|²=

1+k2

2k2-1

，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，求出d=

3

3

．推出O到直线MN的距离是定值．

解答： 解：（1）双曲线C₁：2x²-y²=1左顶点A（-

2

2

，0），
渐近线方程为：y=±

2

x．
过A与渐近线y=

2

x平行的直线方程为y=

2

（x+

2

2

），即y=

2

x+1，
所以

y=- 2 x y= 2 x+1

，解得

x=- 2 4 y= 1 2

．
所以所求三角形的面积为S=

1

2

|OA||y|=

2

8

；
（2）由题意，直线的斜率存在，
∵过点Q(-

2

，

2

)作直线l与双曲线C₁有且只有一个交点，
∴直线l与双曲线的渐近线平行，
∵渐近线的斜率为±

2

，
∴直线l的方程为y-

2

=±

2

（x+

2

），即y=

2

x+2+

2

或y=-

2

x-2+

2

；
（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=

2

2

，则O到直线MN的距离为

3

3

．
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞

2

2

），
则直线OM的方程为y=

1

k

x，由

y=kx 4x2+y2=1

得

x2= 1 4+k2 y2= k2 4+k2

，
所以|ON|²=

1+k2

4+k2

．
同理|OM|²=

1+k2

2k2-1

，
设O到直线MN的距离为d，
因为（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
所以

1

d2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=3，
即d=

3

3

．
综上，O到直线MN的距离是定值．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．