Question

已知，函数.

⑴若不等式对任意恒成立，求实数的最值范围；

⑵若，且函数的定义域和值域均为，求实数的值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意，若不等式对任意恒成立，参编分离后即可得：，从而问题等价于求使对于任意恒成立的的范围，而，当且仅当时，“=”成立，故实数的取值范围是；（2）由题意可得为二次函数，其对称轴为，因此当时，可得其值域应为，从而结合条件的定义域和值域都是可得关于的方程组，即可解得.

试题解析：（1）∵，∴可变形为：，而，当且仅当时，“=”成立，∴要使不等式对任意恒成立，只需，即实数的取值范围是；

（2）∵，∴其图像对称轴为，根据二次函数的图像，可知在上单调递减，∴当时，其值域为，又由的值域是，

∴.

考点：1.恒成立问题的处理方法；2.二次函数的值域.